Titlebook: Das BUCH der Beweise; Martin Aigner,Günter M. Ziegler Textbook 20154th edition Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015 Algebra.Analysis.Bew

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Das Bertrandsche Postulatschen den Primzahlen geben muss. Schreibt man nämlich . := 2 · 3 · 5 · · · . für das Produkt aller Primzahlen, die kleiner sind als . + 2, dann kann keine der . Zahlen .. + 2,. + 3,. + 4, . . .,. + .,. + (. + 1) .prim sein, denn für 2 ≤ . ≤ . +1 hat . einen Primfaktor, der kleiner ist als . + 2, und

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Binomialkoeffizienten sind (fast) nie Potenzenr das Bertrandsche Postulat auf die folgendeWeise:...Man beachte, dass dies für . = 2. genau das Bertrandsche Postulat ergibt. Erdős gab 1934 einen kurzen und elementaren Beweis des Satzes von Sylvester, der auch aus dem BUCH stammt und auf ähnlichen Überlegungen wie im letzten Kapitel beruht.

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Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermatchweis, dass jede Primzahl der Form 4. + 1 eine Summe von zwei Quadraten ist. G. H. Hardy schreibt, dass dieser . von Fermat „ganz zu Recht als einer der besten Sätze der Arithmetik angesehen wird“. Trotzdem ist einer unserer BUCH-Beweise ziemlich neu.

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Das quadratische Reziprozitätsgesetzatz der Algebra, aber der Sieger ist zweifellos das quadratische Reziprozitätsgesetz der Zahlentheorie. In einer bewundernswerten Monografie führt Franz Lemmermeyermit Stand vom Jahr 2000 nicht weniger als 196 Beweise an. Natürlich sind viele von ihnen nur geringfügige Variationen von anderen, aber

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Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körperverses hat, so heißt . ein .. Das heißt, was . dann noch fehlt, um ein Körper zu sein, ist die Kommutativität derMultiplikation. Das bekannteste Beispiel eines nicht-kommutativen Schiefkörpers ist der Ring der Quaternionen, dessen Entdeckung Hamilton zugeschrieben wird. Aber, wie der Titel sagt, mus

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Einige irrationale Zahlenrde 1766 von Johann Heinrich Lambert gegeben. Lambert zeigte sogar, dass tan . irrational ist für rationales . ≠ 0; die Irrationalität von . folgt daraus wegen tan ./.= 1. Im BUCH findet sich jedoch das Datum 1947: ein extrem eleganter Ein-Seiten-Beweis von Ivan Niven, für den man nur elementare Ana

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Geraden in der Ebene und Zerlegungen von GraphenMan beweise, dass es nicht möglich ist, eine endliche Anzahl reeller Punkte so anzuordnen, dass jede Gerade durch zwei der Punkte immer auch durch einen dritten der Punkte geht, es sei denn, alle Punkte liegen auf derselben Geraden. Ob Sylvester selber dafür einen Beweis hatte, wissen wir nicht — di

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Wenige Steigungenehmen wir natürlich an, dass die . ≥ 3 Punkte nicht alle auf einer Geraden liegen. Aus Kapitel 11 über „Geraden in der Ebene“ kennen wir den Satz von Erdős und de Bruijn, wonach . Punkte mindestens . verschiedene Geraden bestimmen. Aber natürlich können viele von diesen Geraden parallel sein, und de