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Front Matter |
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Abstract
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,Polynominterpolation, |
Robert Plato |
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Abstract
Gegenstand dieses und der beiden nachfolgenden Kapitel sind Problemstellungen der folgenden Art:.Hierbei ist . ⊂ ψ: . → ℝ eine problembezogen ausgewählte Menge von Funktionen, wobei . ⊂ ℝ ein endliches oder unendliches Intervall mit paarweise verschiedenen . ., .,..., . ∈ . ist. Solche Problemstellungen werden im Folgenden kurz als (eindimensionale) . bezeichnet.
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,Splinefunktionen, |
Robert Plato |
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Abstract
Bei der Polynominterpolation auf äquidistanten Gittern stellt sich mit wachsender Stützstellenzahl typischerweise ein oszillierendes Verhalten ein. Dies wird bei der in dem vorliegenden Abschnitt betrachteten Interpolation mittels Splinefunktionen vermieden. Für deren Einführung sei.eine festgewählte Zerlegung des Intervalls [., .], wobei man die Stützstellen ., .,..., . aus historischen Gründen auch als . bezeichnet.
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,Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen, |
Robert Plato |
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Abstract
In diesem Abschnitt wird zunächst die diskrete Fouriertransformation einführend behandelt und anschließend werden einige Anwendungen präsentiert. Schließlich wird ein Verfahren zur “schnellen” diskreten Fouriertransformation vorgestellt. Zu den vorzustellenden Anwendungen der diskreten Fouriertransformation gehört auch die trigonometrische Interpolation, was den Grund dafür darstellt, dass das vorliegende Thema hier behandelt wird.
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,Lösung linearer Gleichungssysteme, |
Robert Plato |
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Abstract
In diesem Abschnitt werden Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme . = . vorgestellt, wobei . = (.) ∈ ℝ. eine gegebene Matrix und .= (.) ∈ ℝ. ein gegebener Vektor ist. Solche Gleichungssysteme treten in zahlreichen Anwendungen auf, wovon eine bereits aus Kapitel 2 über Splinefunktionen bekannt ist.
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,Nichtlineare Gleichungssysteme, |
Robert Plato |
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Abstract
Im Folgenden sei .: ℝ. → ℝ. eine gegebene Funktion und .* ∈ ℝ. eine Nullstelle von .,.die es zu bestimmen gilt. Typischerweise lässt sich ein solches nichtlineares Gleichungssystem nur approximativ lösen, was im Folgenden mittels Iterationsverfahren der Form.geschehen soll mit einer geeigneten stetigen . Φ: ℝ. → ℝ.. Dabei soll die Abbildung Φ so beschaffen sein, dass Konvergenz im folgenden Sinne vorliegt.
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,Numerische Integration von Funktionen, |
Robert Plato |
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Abstract
Zahlreiche Anwendungen wie etwa die Bestimmung von Flächen oder Normalverteilungen führen letztlich auf das Problem der Berechnung von Integralen.mit gewissen Funktionen . ∈ .[., .]. Oftmals ist jedoch die Berechnung des Integrals (6.1) nicht möglich, da beispielsweise die Stammfunktion von . nicht berechnet werden kann oder die Funktionswerte von . als Resultat von Messungen nur an endlich vielen Stellen vorliegen.
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,Explizite Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen, |
Robert Plato |
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Abstract
Viele Anwendungen wie beispielsweise die Berechnung der Flugbahn eines Raumfahrzeugs beim Wiedereintritt in die Erdatmosphäre oder Räuber-Beute-Modelle führen auf Anfangswertprobleme für Systeme von gewöhnlichen Differenzialgleichungen. Ebenso resultieren gewisse Diskretisierungen von Anfangswertproblemen für partielle Differenzialgleichungen in Anfangswertproblemen für Systeme von gewöhnlichen Differenzialgleichungen. Ein konkretes Beispiel hierzu wird in Abschnitt 8.9.4 auf Seite 216 vorstellt. Solche Anfangswertprobleme für Systeme von gewöhnlichen Differenzialgleichungen sind Gegenstand des vorliegenden und des nächsten Kapitels.
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,Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen, |
Robert Plato |
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Abstract
Mit den in diesem Kapitel behandelten Mehrschrittverfahren zur näherungsweisen Bestimmung einer Lösung des Anfangswertproblems (7.1)–(7.2) (in Kurzschreibweise .′ = .(.), .(.) = .) erhält man auf einfache Weise Verfahren höherer Konvergenzordnung.
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,Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen, |
Robert Plato |
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Abstract
Viele praxisrelevante Fragestellungen führen auf Randwertprobleme für gewöhnliche Differenzialgleichungen.
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| 11 |
,Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, |
Robert Plato |
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Abstract
Zur Lösung linearer Gleichungssysteme.mit der eindeutigen Lösung . = . ∈ ℝ. werden in den beiden folgenden Kapiteln 10 und 11 einige spezielle Iterationsverfahren vorgestellt. Dabei hat man sich unter einem . ganz allgemein ein Verfahren vorzustellen, bei dem — ausgehend von einem beliebigen Startvektor . ∈ ℝ. — sukzessive Vektoren .,.,... ⊂ ℝ. berechnet werden gemäß der zum jeweiligen Verfahren gehörenden Iterationsvorschrift.
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,Verfahren der konjugierten Gradienten, und GMRES—Verfahren, |
Robert Plato |
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Abstract
Ziel der nachfolgenden Betrachtungen ist erneut die approximative Lösung eines regulären linearen Gleichungssystems.(mit der eindeutigen Lösung .= . ∈ ℝ.), und hierzu seien.zunächst nicht weiter spezifizierte (endlich oder unendlich viele) lineare Unterräume. Im Folgenden werden zwei Ansätze zur Bestimmung von (unterschiedlichen) Vektorfolgen . ∈ ., . = 1, 2,..., vorgestellt.
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,Eigenwertprobleme, |
Robert Plato |
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Abstract
Die mathematische Formulierung des Schwingungsverhalten von mechanischen oder elektrischen Systemen sowie die anschließende Diskretisierung des Modells führt auf das Problem der Bestimmung der Eigenwerte von Matrizen (kurz als . bezeichnet), was in der Regel numerisch geschieht. Für solche Eigenwertprobleme werden in dem vorliegenden Kapitel Störungs-, Einschließungs- und Variationssätze vorgestellt, und in dem darauf folgenden Kapitel 13 werden numerische Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen behandelt.
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,Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme, |
Robert Plato |
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Abstract
Im Folgenden werden verschiedene numerische Verfahren zur approximativen Bestimmung von Eigenwerten quadratischer Matrizen vorgestellt. Dabei basiert eine Klasse von Algorithmen auf der Anwendung von Ähnlichkeitstransformationen, eine zweite auf Vektoriterationen.
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,Restglieddarstellung nach Peano, |
Robert Plato |
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Abstract
Für ganz unterschiedliche Verfahren (zur Lösung auch ganz unterschiedlicher Problemstellungen wie etwa Interpolation sowie numerische Integration und Differenziation) existiert ein eleganter und einheitlicher Zugang zur Herleitung von Fehlerdarstellungen. Dieser Zugang, der zudem Verallgemeinerungen schon bekannter Fehlerdarstellungen für Funktionen . mit geringeren Differenzierbarkeitseigenschaften ermöglicht, soll in dem vorliegenden Kapitel 14 in Grundzügen vorgestellt werden.
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,Approximationstheorie, |
Robert Plato |
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Abstract
Eine wichtige Fragestellung der numerischen Mathematik ist es, bezüglich einer festgelegten Norm für eine gegebene Funktion eine Bestapproximation aus einer Menge von Funktionen zu bestimmen sowie den auftretenden Fehler abzuschätzen. Vergleichbare Fragestellungen treten auch für Vektoren anstelle von Funktionen auf.
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,Rechnerarithmetik, |
Robert Plato |
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Abstract
In dem vorliegenden Kapitel werden zunächst einige Grundlagen über die in Hard- und Software verwendeten reellen Zahlensysteme vorgestellt. Anschließend wird die Approximation reeller Zahlen durch Elemente solcher Zahlensysteme behandelt. Ein weiteres Thema bilden die arithmetischen Grundoperationen in diesen Zahlensystemen.
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Back Matter |
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Abstract
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发表于 2025-3-21 18:53:34
