| 书目名称 | Einführung in die Mathematik der Theoretischen Physik | | 编辑 | Markus Eichhorn | | 视频video | | | 概述 | Formelsammlungen am Ende jedes Kapitels liefern einen kompakten Überblick über Zusammenhänge.Leitet mathematische Kniffe der Theoretischen Physik besonders anschaulich und detailliert her.Bietet eine | | 图书封面 |  | | 描述 | Dieses Lehrbuch stellt die mathematischen Methoden der Theoretischen Physik detailliert und anschaulich dar. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der verständlichen Herleitung und der Anwendbarkeit auf physikalische Probleme. Mathematische Herleitungen und Rechenkniffe werden Studierenden dabei in vielen Zwischenschritten zugänglich gemacht. Das Lehrbuch richtet sich primär an Studierende der ersten Semester, ist aber durch das gesamte Grundstudium hindurch und darüber hinaus als Referenz- und Nachschlagewerk geeignet. Darüber hinaus sind viele Beispiele für fortgeschrittene Studierende, wie der Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie oder Lie-Algebren eingearbeitet. Am Ende jedes Kapitels befinden sich Formelsammlungen, die die Themen zusammenfassen und so einen kompakten Überblick über die einzelnen Zusammenhänge liefern. | | 出版日期 | Textbook 2023 | | 关键词 | Mathematische Methoden; Mathematik der Theoretischen Physik; Theoretische Physik; Angewandte Mathematik | | 版次 | 1 | | doi | https://doi.org/10.1007/978-3-662-66079-9 | | isbn_softcover | 978-3-662-66078-2 | | isbn_ebook | 978-3-662-66079-9 | | copyright | Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Tei |
| 1 |
Front Matter |
|
|
Abstract
|
| 2 |
,Einführung und Wiederholung, |
Markus Eichhorn |
|
Abstract
Es werden Konzepte aus der Oberstufenmathematik wiederholt und diskutiert. Dazu zählen Funktionen und ihre Eigenschaften, Ableitungen, Integrale, Komplexe Zahlen und Vektoren in der analytischen Geometrie. Obwohl es sich vor allem um eine Wiederholung handelt, sind zu jedem Thema auch bereits einige weiterführenden Betrachtungen eingebaut, die das Lösen von Problemen vereinfachen oder eine andere Herangehensweise darstellen. So wird im Abschnitt zu Integralen beispielsweise die Methode „Trennung der Variablen“ zum Lösen von Differentialgleichungen diskutiert. Am Ende jedes Abschnitts befindet sich eine kleine Formelsammlung, in der die wichtigsten Erkenntnisse zusammengefasst werden.
|
| 3 |
,Erste neue und grundlegende Konzepte, |
Markus Eichhorn |
|
Abstract
Es werden Konzepte vorgestellt, die so vermutlich nicht in der Oberstufe diskutiert wurden. Dazu zählen beispielsweise die hyperbolischen Funktionen und ihre Eigenschaften, die induktive Beweisführung, die Indexschreibweise oder die Dirac-Delta- und Heaviside-Theta-Funktion. Ebenfalls wird auf die Gamma-Funktion eingegangen, die eine Verallgemeinerung der Fakultät darstellt. Ein anderer wichtiger Abschnitt stellen die Methoden zum Lösen von Differentialgleichungen dar, in dem auch auf grundlegende Aspekte der Green’schen Funktionen eingegangen wird. All diese hier vorgestellten Methoden finden in der Physik und im weiteren Laufe des Buches weitere Anwendung. Am Ende eines jeden Abschnitts werden Formelsammlungen angeführt, die die wichtigsten Erkenntnisse zusammenfassen.
|
| 4 |
,Der allgemeine Vektorbegriff im mathematischen Sinne, |
Markus Eichhorn |
|
Abstract
Es wird die Verallgemeinerung des aus der Schule bekannten Vektorbegriffes vorgenommen. Zunächst werden einfache Fälle, wie höherdimensionale reelle und komplexe Vektoren betrachtet. Diese werden dann als Grundlage benutzt, um einen allgemeinen Vektorbegriff zu definieren, der daraufhin auf Funktionen ausgeweitet wird. Dabei wird das Konzept des Vektorraums eingeführt und ein erster Berührungspunkt mit dem Dualraum hergestellt. Besonders wird auch auf die Bedeutung des Vektorbegriffes in Bezug auf die mathematische Beschreibung der Quantenphysik eingegangen. Am Ende des Kapitels findet sich eine Formelsammlung mit den wichtigsten Erkenntnissen über den verallgemeinerten Vektorbegriff.
|
| 5 |
,Reihenentwicklungen, |
Markus Eichhorn |
|
Abstract
Es werden verschiedene Formen der Reihenentwicklung vorgestellt und diskutiert. Darunter befinden sich die Taylor-Reihe, die Laurent-Reihe und die Fourier-Reihe. Ebenfalls werden Methoden beleuchtet, die es erlauben durch Reihentwicklung physikalische Probleme, wie Differentialgleichungen zu lösen. Dabei werden auch zwei besondere Differentialgleichungen aufgegriffen, die in der Einführung der Legendre-Polynome und der Kugelflächenfunktionen münden, welche ebenfalls als Ausgangspunkt einer Reihenentwicklung verwendet werden können. Am Ende des Kapitels findet sich eine Formelsammlung mit den wichtigsten Erkenntnissen zu Reihenentwicklungen.
|
| 6 |
,Komplexe Integrale, |
Markus Eichhorn |
|
Abstract
Es werden zuerst die Verallgemeinerung von Begrifflichkeiten wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrabilität auf komplexe Funktionen vorgenommen, um dann einige wichtige Ergebnisse der Funktionalanalysis, wie die Cauchy’sche Integralformel und den Residuensatz aufzugreifen. Ebenfalls wird das in der Physik häufig anzutreffende Lemma von Jordan diskutiert. Am Ende des Kapitels findet sich eine Formelsammlung mit den wichtigsten Erkenntnissen zu komplexen Integralen.
|
| 7 |
,Fourier-Transformationen, |
Markus Eichhorn |
|
Abstract
Ausgehend von der Fourier-Reihe wird die Fourier-Transformation eingeführt und ihre Eigenschaften und geläufige Konventionen werden abstrakt und anhand einiger Beispiele diskutiert. Dabei wird auch darauf eingegangen, wie die Fourier-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen verwendet werden kann und welchen Zusammenhang sich für Green’sche Funktionen und Antwortfunktionen durch die Fourier-Transformation ergibt. Am Ende des Kapitels findet sich eine Formelsammlung, welche die wichtigsten Eigenschaften der Fourier-Transformation zusammenfasst.
|
| 8 |
,Matrizen, |
Markus Eichhorn |
|
Abstract
Es werden die Begrifflichkeiten der Matrizen von Grund auf eingeführt und auf wichtige Eigenschaften dieser eingegangen. Dabei wird auch ein Augenmerk auf das Bestimmen von Funktionen von Matrizen, wie der Exponentialfunktion und des Logarithmus gelegt. Schlussendlich werden Matrizengruppen und - algebren anhand von in der Physik auftretenden Gruppen wie der reellen und komplexen Drehgruppe diskutiert und das Konzept der Lie-Gruppen und - Algebren eingeführt. Am Ende des Kapitels findet sich eine Formelsammlung zu den wichtigsten Erkenntnissen zu Matrizen.
|
| 9 |
,Vektoranalysis, |
Markus Eichhorn |
|
Abstract
Es wird das Konzept von Feldern eingeführt und der Ableitungs- und Integrationsbegriff auf diese erweitert. Neben Aspekten wie den möglichen Ableitungen Gradient, Rotation und Divergenz und den damit verknüpften Regeln, sowie den Integralsätzen, die für diese gelten, wird auch auf die Konzepte der Differentiale und Legendre-Transformationen eingegangen. Am Ende des Kapitels findet sich eine Formelsammlungen zu den wichtigsten Erkenntnissen der Vektoranalysis.
|
| 10 |
,Variationsrechnung, |
Markus Eichhorn |
|
Abstract
Es werden Funktionale und ihre Variation besprochen und durch den Vergleich mit Extremalwertproblemen von Funktionen motiviert. Auch wird ein Einblick in den Umgang mit Erhaltungsgrößen und der Variation unter Nebenbedingungen gegeben. Anschließend werden einige Beispiele aus der Klassischen Physik, wie die Bewegungsgleichungen des Doppelpendels oder die Brechung von Licht in Medien betrachtet. Zuletzt werden Beispiele aus der modernen Physik, wie die Feldtheorie oder die Geodätengleichung der allgemeinen Relativitätstheorie diskutiert. Am Ende des Kapitels befindet sich eine Formelsammlung, in der die wichtigsten Erkenntnisse zur Variationsrechnung zusammengefasst werden.
|
| 11 |
,Vektoren und Tensoren im physikalischen Sinne, |
Markus Eichhorn |
|
Abstract
Es werden die Begrifflichkeiten von Tensoren und Vektoren anhand von Transformationsverhalten eingeführt und diskutiert. Dabei werden auch Konzepte wie ko- und kontravariante Komponenten, kovariante Ableitungen und Tensorfelder besprochen. Zuletzt wird ein grober Überblick über die wichtigsten Transformationen der Physik inklusive Drehungen, Galilei- Transformationen und Lorentz-Transformationen gegeben. Zum Ende des Kapitels findet sich eine Formelsammlung, in der die wichtigsten Erkenntnisse zu Vektoren und Tensoren zusammengefasst werden.
|
| 12 |
,Zusammenfassung wichtiger Funktionen und ihrer Eigenschaften, |
Markus Eichhorn |
|
Abstract
Es werden die, im Laufe des Buches gefunden Eigenschaften, verschiedener Funktionen, wie den trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen, der Heaviside-Theta und der Dirac-Delta-Funktion und der Gamma-Funktion, gesammelt und zusammengefasst.
|
| 13 |
Back Matter |
|
|
Abstract
|
|
|
发表于 2025-3-21 18:53:22
